Teori Bahasa dan Automata : Finite State Automata

7 min readJul 28, 2021

Finite State Automata adalah mesin automata dari bahasa regule. FSA bukan suatu mesin fisik melainkan suatu model matematika dari suatu sistem yang menirima output dan input diskrit. FSA memiliki state yang banyaknya berhingga, dan dapat berpindah dari suatu state ke state lainnya. Sebagai sebuah mesin maka FSA akan bekerja jika diberikan suatu masukan. Hasil proses adalah suatu nilai kebenaran diterima atau tidaknya masukan yang diberikan. FSA memiliki state yang banyaknya berhingga, jika diberikan suatu simbol input maka dapat terjadi suatu perpindahan dari sebuah state ke state lainnya. Perubahan state tersebut dinyatakan oleh suatu simbol transisi. Mekanisme FSA tidak memiliki memori sehingga selalu mendasarkan prosesnya pada posisi state “saat ini”. Misalnya pada mekanisme kontrol pada sebuah lift, selalu didasari pada posisi lift saat itu pada suatu lantai, pergerakan ke atas atau ke bawah dan sekumpulan permintaan yang belum terpenuhi.

Finite State Automata dinyatakan oleh pasangan 5 tuple, yaitu:
M=(Q , Σ , δ , S , F )
Q = himpunan state
Σ = himpunan simbol input
δ = fungsi transisi δ : Q × Σ
S = state awal / initial state , S ∈ Q
F = state akhir, F ⊆ Q

Karakteristik Finite Automata

Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non-deterministik.
Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir. jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.

Setiap FSA memiliki:

Himpunan berhingga (finite) status (state) Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0. Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
Himpunan berhingga simbol masukan
Fungsi transisi Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.

Cara Kerja Finite State Automata

Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga.

Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).

Finite State Diagram (FSD)

Finite State Automata dapat dimodelkan dengan Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya.Fungsi Transisi (d) adalah representasi matematis atas transisi keadaan.S = himpunan alfabet.Q = himpunan keadaan-keadaan.δ = Q x S -> Q

Contoh Penerapan FSA:

PERMASALAHAN

Di kutub selatan, terdapat enam binatang yang terdiri dari induk pinguin, anak pinguin, induk singa laut, anak singa laut, induk beruang kutub, dan anak beruang kutub. Semua binatang ini hendak menyebrang ke gunung es pada sisi lainnya. Di antara dua gunung es ini terdapat balok es yang hanya bisa ditempati untuk dua binatang saja. Namun, terdapat suatu masalah yaitu anak binatang tidak boleh ditinggal bersama induk binatang yang berlainan jenis dan singa laut harus menjadi yang pertama sampai di sisi lainnya karena anak singa laut sedang terluka sehingga harus cepat sampai di kelompoknya. Bantulah mereka untuk menyebrang ke gunung es pada sisi lainnya!

SOLUSI

• Input (himpunan simbol masukan)
{AP, IP, AS, IS, AB, IB, AP-IP, AS-IS, AB-IB, AP-AS, AP-AB, AS-AB}

State (himpunan status berhingga)

Fungsi transisi

Diagram transisi

Jenis FSA
Ada dua jenis FSA :
1. Deterministic Finite Automata (DFA) : dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima. Deterministik artinya tertentu/sudah tertentu fungsi transisinya.
Notasi matematis DFA:
• M = nama DFA
• Q = himpunan keadaan DFA
• Σ = himpunan simbol input
• δ = fungsi transisi, dimana δ ϵ Q x Σ -> Q
• S = keadaan awal
• F = keadaan akhir
M = (Q, Σ, δ, S, F)

Contoh DFA:
Q = {q0, q1, q2, q3}

∑ = {0,1}
S = q0
F = {q2}
ᵟ =

setelah di beri input:
10010= Accept karena inputan berhasil mencapai state akhir

input:
01101 = REJECT karena titik berakhirnya tidak di q2(finish)

2. Non-deterministic Finite Automata (NFA) : dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima.
Non-Deterministic Finite Automata:
• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi) berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai terdapat satu yang mencapai state akhir.
• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, Σ, δ, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}
Notasi matematis NFA:
• M = nama NFA
• Q = himpunan keadaan NFA
• Σ = himpunan simbol input
• δ = fungsi transisi, dimana δ ϵ Q x (Σ U ε) -> P(Q)
• S = keadaan awal
• F = keadaan akhir
M = (Q, Σ, δ, S, F)

Contoh NFA :

Gambar 1. diatas mempunyai defenisis formal sebagai berikut :

Q = {0, 1, 2, 3, 4}
∑ = {a,b}
q0 = 0
F = {2, 4}
&= diagram transisi dapat dilihat pada tabel 1

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata (DFA)

Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan ada sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya. Perbedaannya hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang saling ekuivalen tersebut. Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih otomata dengan jumlah state yang lebih sedikit.

Sasaran kita di sini adalah mengurangi jumlah state dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi kemampuannya semula untuk menerima suatu bahasa.

Ada dua buah istilah baru yang perlu kita ketahui yaitu :

1. Distinguishable yang berarti dapat dibedakan.

2. Indistinguishable yang berarti tidak dapat dibedakan.

Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) = L(M2)

Reduksi Jumlah State Pada FSA

Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula

Pasangan Statedapat dikelompokkan berdasarkan:
1. Distinguishable State (dapat dibedakan)
Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:
δ(q,w) Î F dan δ(p,w) Î F atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉ F
untuk semua w Î S*

2. Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan)
Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishablejika ada string w Î S* hingga:
δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ∉ F

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.

Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika p dan q indistinguishable,

dan q dan r indistinguishable

maka p, r indistinguishable

dan p,q,r indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :

Untuk Q yg merupakan himpunan semua state

D adalah himpunan state-state distinguishable, dimana D Ì Q
N adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N Ì Q
maka x Î N jika x Î Q dan x ∉ D

Contoh :

Penyelesaian:

Maka state yang tidak useless didapat : q0, q1, q2, q3, q4
q0, q1 -> distinguisable
q0, q2 -> distinguisable
q0, q3 -> distinguisable
q0, q4 -> distinguisable
q1, q2 -> indistinguisable
q1, q3 -> distinguisable
q1, q4 -> distinguisable
q2, q3 -> distinguisable
q2, q4 -> distinguisable
q3, q4 -> indistinguisable

Pembuktian :

(q0, q1)

q0, 0 -> q1 & q1, 0 -> q2 =>q1, q2

q0, 1 -> q2 & q1, 1 -> q3 => q2, q3 = distinguisable

(q0, q2)

q0, 0 -> q1 & q2, 0 -> q2 =>q1, q2

q0, 1 -> q2 & q2, 1 -> q4 => q2, q4 = distinguisable

(q1, q2)

q1, 0 -> q2 & q2, 0 -> q2 =>q2, q2

q1, 1 -> q3 & q2, 1 -> q4 => q3, q4 = indistinguisable

sehingga dapat direduksi menjadi :